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현재의 인구는 모르니까. 일단 X 라고 합시다.
그럼 인구 증가율 1%라고 한다면 일년에 1%의 인구가 증가한다는 전제를 할 수 있습니다.
연속의 개념은 아니라고 보여집니다. 원래 인구증가율은 연속의 개념.
여기는 인구증가율을 단위년도로 봤습니다. 이자율의 개념으로 풉니다.
식은 X ( 1 + 0.01 ) ^ n = 1.5 X 양변에 X는 없애 줍니다.
( 1 + 0.01 ) ^ n = 1.5 n의 값이 1.5배의 인구에 도달하는 해 입니다.
지수는 양변에 로그를 취해 줌으로써 없앨 수 있습니다.
log 1.5 = n ( log 1.01 )
n = log 1.5/ log 1.01
하나의 패턴이 더 있습니다.
인구가 몇년만에 두배 또는 1.5배가 되었는데.
인구증가율은 몇프로냐를 계산하라는 것입니다.
이 패턴은 X ( 1 + P/100 ) ^ n = 2 X 이렇게 식을 놓고, 양변의 X를 먼저 소거해 준 후
P의 값을 구하는 것입니다. n의 값이 10이라고 가정하면.
(1+P/100) ^ 10 = 2
1 + P/100 = 2 ^ 1/10
P/100 = 2 ^ 1/10 - 1
P = ( 2 ^ 1/10 - 1 ) * 100
이렇게 하면 P의 값이 나옵니다.
%값으로 나오게 되지요.
기간이 주어지고 %를 구하려면
=2.71828^(LN(2)/기간)-1
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'e 는 자연로그의 값이 1 이 되는 수이다' 입니다.
지수함수의 역사의 기원은 데카르트(Descartes)의 'Geometrie' 라는 책을 제일 먼저 읽은 F.Debeaune 이라는 사람이 어떤 기하적인 문제를 데카르트에게 편지하면서부터라고 합니다. 그는 어떤 곡선 y=f(x) 를 찾고 싶었는데 그 곡선은 다음의 성질을 만족하는 곡선입니다: y=f(x) 위의 각 점 P 에 대해, P 에서 이 곡선에 접하는 접선과 x 축과의 교점 T 와 P 에서 x 축으로 수선을 내려 그 발을 V 라고 둘 때, T 와 V 사이의 거리가 일정한 값 a 가 된다.
데카르트와 페르마(Fermat)의 노력에도 불구하고 이 문제는 거의 50년동안 해결되지 못했습니다. 그런데 1684년 라이프니쯔(Leibniz) 가 위 문제를 다음과 같이 풀어 내었습니다(이 부분은 그림을 그려가며 읽으시면 좋은데 안읽으셔도 상관 없습니다) : x 와 y 가 위 문제의 P 와 V 라고 생각하자. 이 때 x 의 값을 아주 작은 b 값만큼 변화시키면 y 는 두 삼각형의 닮음의 성질에 의해 yb/a 만큼 변화한다. 이 사실을 계속 생각하면 다음을 얻을 수 있다.
x, x+b, x+2b, x+3b,.. 일 때 함수값은 (1+b/a)y, (1+b/a)2y, (1+b/a)3y,...이다.
또다른 지수함수의 역사적 기원이라고 추측되는 것은 오일러가 쓴 1748 년의 책 Introductio 라는 책을 보면 다음과 같은 문제를 다루고 있는 것입니다. '어떤 도시의 인구는 매년 1/30 의 비율로 증가한다. 현재 인구가 100,000 이면 100 년 뒤에는 인구가 얼마나 늘겠는가' 와 ' 어떤 사람이 400,000 프랑(florins?) 을 연이자 5% 로 빌렸다...'. 이러한 문제를 풀기 위해서는 다음과 같은 계산을 해야 합니다.
(1+(1/30))100, (1+0.05)N, 일반적으로 (1+s)N 여기서 s 는 작은 수, N 은 큰 수.
이제 오일러는 위의 문제를 해결하기 위해 작은 수 s 를 1/N 으로 바꾸어 놓고 N 이 아주아주 큰 값일 때 위의 식을 계산해 봅니다. 즉 (1+1/N)N 에서 N 을 무한대로 보낸 값을 이항정리의 도움으로 구하는데 극적으로 다음과 같은 무한급수의 값과 같음을 알았습니다.
1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+...
오일러는 위의 값이 수렴함을 알고 너무 기뻐했을 것 같은데 이것은 제 생각입니다. 후에 사람들은 1+1+1/(1*2)+1/(1*2*3)+1/(1*2*3*4)+... 의 수렴값을 e 라고 쓰고 오일러수(Euler number) 라고 부릅니다.
자연로그와 관련되어서는 브리그스(Briggs, 네이피어(Napier)와 함께 로그를 연구한 사람)는 로그의 발견 당시 밑이 10 인 로그를 주로 연구하였습니다. 그는 밑이 10인 로그값을 중간항 추가법(Interpoliation, 또는 비례부분의 법칙) 이라는 것을 이용하여 로그표를 계산하였다고 합니다.
이런 와중에 카랄리에리(Cavelieri), 페르마는 y=xa 와 x 축으로 둘러쌓인 넓이를 연구하고 있었습니다. 페르마는 이러한 도형의 넓이를 거의 모든 실수 a 에 대해서 잘 계산을 했지만 a=-1 일때는 계산을 하지 못하고 있었습니다. 그래서 그레고리(Gregoty 1647) 와 안톤 (Anton 1649) 은 1/x 와 x 축으로 둘러쌓인 면적을 로그(logarithm) 이라고 정의하기 시작했습니다. 그리고 양수 a 에 대해 자연로그 ln(a) 를 곡선 1/x 와 구간 [1,a] 로 둘러쌓인 면적으로 정의하게 됩니다.
이때 오일러가 자신의 연구와 그레고리, 안톤의 연구를 통합하는 정리를 증명합니다.
[정리] 자연로그 ln(a) 는 밑이 e 인 로그이다
이 정리를 잘 살펴보면, 자연로그함수는 어떤 면적으로 정의되었지만 이것이 로그의 성질을 만족하여 로그함수가 되는데 다름아닌 밑이 e인 로그함수라는 것입니다. 따라서 곡선 1/x 와 구간 [1,e] 로 둘러쌓인 면적은 1입니다.//
2. 자연로그를 사용하면 미적분시 수식이 간단해집니다.
특별히 자연로그라해서 별도로 사용하기보다는
log(x) = (ln(x))/ln(10)
의 관계에서 처럼 상수배의 차이이므로 굳이 구별할 필요는 없을 것 같습니다. 방사선 반감기, 복리이자계산, 통계처리....용도는 많지요. :-)
즐딕~
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