Panda Project


  panda(2011-03-07 03:51:54, Hit : 4069, Vote : 38
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 [용어] ARCH and GARCH model Time Series



단순이동평균, 가중이동평균, 지수이동평균에 대한 글은...
http://pepic.tistory.com/255



GARCH(generalized autoregressive conditional heteroscedasticity)모형--일반 자기회귀 조건부 이분산--은 조건부 이분산의 움직임을 통해 시간의 흐름에 따른 변동성(volatility) 변화를 분석하는 것이다. 모형을 추정하는 방법은 일반적으로 오차항이 정규분포를 따른다는 가정하에 선형으로 추정하는 최우추정법(maximum likelihood estimation method)을 사용한다. 그러나 이 방법은 자료가 정규분포를 따르지 않을 경우에는 모형이 잘 맞지 않는다. Fernando(2003)는 정규분포를 따르지 않는 자료에 대해서 모형을 추정하기위해서 서포트벡터기계를 사용하였다. 서포트벡터기계는 최적해를 구하기 위해 이차계획법(quadratic programming)을 사용하기 때문에 훈련에 많은 시간이 걸린다.

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http://blog.naver.com/letmetellyou/30423714   2006/11/02  
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from Pindyck & Rubinfeld

- 오차항이 독립변수에 비례하게 변화하는 이분산성의 경우, 해당 독립변수를 곱하거나 나누는 등의 변형을 통해 오차항의 동분산을 만들 수 있고, 효율적인 추정치를 구할 수 있다.

- 오차항의 분산이 독립변수의 함수가 아니라 과거 오차의 크기의 함수로 표현되는 경우가 있다. (이자율, 인플레이션, 주가수익률 등의 시계열) 이러한 경우에 사용하는 모델이 Engle이 제시한 ARCH 모델이다.

기본식:  t 시점의 조건부 분산 = a0+a1*(t-1 기의 잔차)^2  (ARCH 1)

ARCH(p)의 경우는 ...ap*(t-p 기의 잔차)^2  까지 포함.

- t 시점의 조건부 분산이 과거 시점의 조건부 분산으로 표현될 경우 -> Bollerslev의 GARCH 모형
- 조건부 분산을 Mean Equation의 독립변수로 사용한 모형 -> ARCH-M 모형

from Introductory Econometrics for Finance by Chris Brooks


▣ 금융분야에 선형 모형을 쓰는 것의 한계점

1) leptokurtosis - financial asset return의 분포가 두꺼운 꼬리를 가지고 mean에서 peakdeness를 넘는 성향을 표현하지 못함.
2) Volatiity clustering / volatility pooling 를 표현 못함.
3) Leverage Effects - 가격 상승보다는 가격 폭락이후 분산이 더 커지는 현상을 표현못함.

- Linear in Mean, but non-linear in variance 모델: GARCH


▣ Testing for non-linearity

- 전통적 방법은 별 쓸모없다.
- BDS Test ==> pure noise vs others
- 잔차분석.


▣ ARCH model

- 실제 이분산인 데이터를 동분산으로 모델링한 implication은 잘못되었을 가능성이 있다.
- volatility의 수준이 전기의 volatility와 상관관계가 있을 수 있다.
- model

   mean: yt=b1+b1*x1+b2*x2+ut, ut~N(0, ht)
   ARCH: ht = a0+a1*ut-1^2+...+ap*ut-p^2

- non-negativity constraints: ht 는 조건부 분산이기때문에 양수여야함. 그리고 우변도 잔차의 제곱합이므로 양수 ==> 모든 계수가 양이어야..

-  Testing for ARCH effects: ARCH-LM test ==> 잔차의 제곱들의 AR 모델링 후 R-squared 값을 구함. T*R^2 이 chi-square 분포따름. Null: 모든 AR 계수가 0

-  Limitation

   1) Lag 결정문제: Likelihood ration test가 있지만 완전치 않음
   2) Lag이 매우 길어져 parsimonious가 떨어질 수 있음
   3) 비음 조건이 위배될 수 있음.

==> GARCH 모델


▣ GARCH model

- ht=a0+a1*ut-1^2+b*ht-1 ==> 잔차 제곱의 ARMA(1,1,) 형태
- ARCH 무한대를 세개의 계수로 표현한다는 점에서 parsimonious
- GARCH(p, q) ==> 조건부 분산 텀이 p 개, 잔차 제곱의 lag 이 q 개
- 비조건부 분산 = a0/(1-(a1+b)) ==> a1+b 가 1보다 크거나 같은 경우는  정의되지 않음 ==> non-stationary in variance ==> IGARCH ==> 분산의 예측 측면에서 바람직한 성질이 아니다. 분산에 가해진 충격이 persistent하다.


▣ Estimation of ARCH/GARCH model

- 선형모델이 아니기 때문에 OLS는 안됨. ==> MLE
- 오차의 정규성 검정: vt=ut/(조건부 표준편차) 에서 vt 의 Jarque-Bera 통계량으로 정규성 검정. 만일 vt 가 정규 분포가 아니라면? mean and variance equation 만 제대로 설정되어있으면 괜찮음. 다만 추정법에서 QML을 써야..


▣ Extensions to the basic GARCH model

- 제안된 이유

1) 비음 조건이 위배될 수 있기때문에 인공적인 제약식이 추가되어야할 필요성 존재
2) GARCH 모델은 레버리지 효과를 설명하지 못하는 문제점
3) 조건부 분산과 조건부 평균 사이의 direct feedback 을 허용하지 않는 문제점

- Asymmetric GARCH models

   * 충격의 부호에 대해 volatility의 비대칭적인 반응을 모델링
   * 양의 충격보다는 음의 충격에 대해 volatility는 더 크게 반응
   * 두 가지 비대칭적 모형: GJR model 과 EGARCH

- GJR model (=threshold GARCH)

   * 잔차가 음수이면 1, 아니면 0 인 더미변수를 잔차의 lag 항에 곱한 모형

- EGARCH model

   * ln(ht) = w+b*ln(ht-1)+r*(ut-1)/sqrt(ht-1)+a*[abs(ut-1)/sqrt(ht-1)-sqrt(2/pi)]
   * r 이 음수로 추정되어 volatility와 return 사이에 비대칭성 모델링.

- News impact curves

   * by Pagan and Schwert (1990)
   * x 축은 lagged shock (잔차), Y축은 조건부 분산, shock의 비대칭적 영향을 보임.

- GARCH in mean

   * mean equation에 조건부 분산이나 표준편차를 추가. y 가 mean return일때 추가된 계수는 risk
      premium으로 해석될 수 있음 ==> high risl, high return

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Z,T(등분산,이분산,쌍체비교)검정할것을 어떻게 구별하나요  통계계산  2009/04/01 11:23
http://blog.naver.com/gktmdgjs12/150045257048

표본의 개수를 따져서 분류한다고 보시면 되겠습니다. T-test에서 등분산가정을 하는것은 독립표본 T-test의 경우에 하는것입니다. 우선 독립표본 T-test와 쌍체비교 즉, 대응표본 T-test를 구분해보자면..

우선 T-test는 두 표본간의 평균을 비교하는 것이죠. 이때 독립표본 T-test는 표본간이 서로 독립적이라는 것 니다. 예를 들어서 수학성적을 남녀별로 서로 평균에 차이가 있는가를 비교한다던가, 체중을 A반과 B반을 비교한다던가.. 서로 영향을 끼치지 않는 완벽한 독립개체를 비교할 때 사용합니다. 남녀는 서로 영향을 주지 않죠. 체중의 경우 A반 B반이 서로 영향을 주기는 힘들죠^^ 이럴경우 독립표본 T-test를 실행하죠.

이때 T-test 에서 T검정을 하기전에 이 두표본이 분산이 동일한지를 먼저 검정해 주어야 합니다. T-test 실행시 T값을 산출할 때 식을 보면 두 표본의 분산을 언급하게 되죠. 이때 두 분산이 같을 때와 다를 때의 T값이 달라지기 때문에 그 여부를 먼저 결정하게 되는 겁니다. 이때 귀무가설은 두 표본의 분산이 같다 (등분산) 대립가설은 두 표본이 분산이 다른다(이분산) 이라고 하고 검정해보아서 등분산과 이분산인지를 가려내고 T-test를 실시 합니다.

대응표본 T-test는 실험전 실험후의 일표본T-test와 같다고 생각하시면 됩니다. (쌍체비교) 그러니까
예를 들어 비슷한 징후를 띠는 10명의 환자에 대해서 치료 전과 치료후를 비교하고자 한다면 한 표본에 대해서 실험전과 실험후를 비교하는 것이 되죠. 이때를 대응표본 T-test라 합니다. 이 때는 한가지의 표본에 대해서 하는 것이기 때문에 등분산 검정을 하지 않아도 된답니다. 이때 귀무가설은 실험전과 실험후가 같다 or 실허전과 실험후의 차이가 없다 대립가설은 실험전과 실험후가 다르다. 이런식으로 해서 검정을 하게되죠.

처음에는 독립 표본과 대응표본을 구별하기 힘듭니다. 대응표본 같은데도 독립표본인 경우가 많거든요.

**** 이분산 설명 : http://www.reportnet.co.kr/detail/2107/2106181.html  ****

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Autoregressive integrated moving average : ARIMA
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From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics and econometrics, and in particular in time series analysis, an autoregressive integrated moving average (ARIMA) model is a generalization of an autoregressive moving average (ARMA) model. These models are fitted to time series data either to better understand the data or to predict future points in the series (forecasting). They are applied in some cases where data show evidence of non-stationarity, where an initial differencing step (corresponding to the "integrated" part of the model) can be applied to remove the non-stationarity.

The model is generally referred to as an ARIMA(p,d,q) model where p, d, and q are non-negative integers that refer to the order of the autoregressive, integrated, and moving average parts of the model respectively. ARIMA models form an important part of the Box-Jenkins approach to time-series modelling.

When one of the terms is zero, it's usual to drop AR, I or MA. For example, an I(1) model is ARIMA(0,1,0), and a MA(1) model is ARIMA





[용어] 자기회귀모형
[용어] 통계와 분석 ; 교차, 분산, 회귀, 상관

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